Докажите, что квадратное уравнение (где"- квадрат, т.е. ах в квадрате) ах"+bx-c=0 имеет ровно один корень на промежутке [0; 1], если а, b и с - это длины сторон треугольника.

а, b и с - это длины сторон треугольника., значит выполняются неравенства:

a+b> c> 0, a+c> b> 0, b+c> a> 0

a^2+2ac+c^2> b^2

ах^2+bx-c=0

d=b^2+4ac

x1=(-b+корень(b^2+4ac))/(2a)> =(-b+b)/(2a)=0

нужно еще доказать что x1< =1

т.е. (-b+корень(b^2+4ac))/(2a)< =1

-b+корень(b^2+4ac)< =2a

корень(b^2+4ac))< =2a+b

(обе части неотрицательны, поднесем к квадрату, получим равносильное неравенство)

b^2+4ac< =4a^2+4ab+b^2

4ac< =4a^2+4ab

ac-ab< =a^2

c-b< =a

c< =a+b (что верно как неравенство треугольника)

далее теперь осталось доказать что второй корень не попадает в промежуток [0; 1]

докажем что x2< 0

x2=(-b-корень(b^2+4ac))/(2a)< 0 , что очевидно так в знаменателе неотрицательное число 2а, а в числителе отрицательное.

доказано

если а,б и с - стороны треугольника, то это положительные числа. график квадратного уравнения   - парабола, ветками вверх (в даном случае), с - число на оси у, которое показывает точку, где парабола пересекает эту ось, т.е. координаты этой точки (0; с). в даном случае, с   больше 0. в общем, парабола поднята над осью х, и касается оси х в 1 точке, т.е. это и есть 1 корень