Дан квадрат abcd. на отрезках ac и bc взяты точки m и n, не с концами отрезков, соответственно, так, что mn=md. найдите величину угла ∠mdn.

Нарисуем квадрат авсd.проведем диагональ ас.главное здесь - доказательно построить    равные  nм и мd.для этого   с циркуля из d радиусом, меньшим сd, на ас отметим точку м.из точки м тем же радиусом на вс отметим точку n(  заметим, что мd не может быть больше или   равно   сd. в противном случае равенства мn и мd быть не может, если точка n будет  лежать именно на отрезке   вс, а не на прямой вс, что не одно и то же, как и не на стороне или прямой ав, хотя нужный угол будет той же величины: см. рисунок).из точки м, как из вершины, построим квадрат мксе.соединим n и м, м и d.км=ме как стороны квадрата.  мn=мd по построению, следовательно, прямоугольные  треугольники  кмn и меd равны,   и угол кмn=углу емdтак как угол кме   равен 90°, то, если от него с одной стороны при вершине м отнять, а с другой прибавить по равному углу, получим угол, равный 90°угол мnd - прямой  мn=мdпрямоугольный треугольник nмd - равнобедренный, углы при nд равны 45°.ответ:   угол мdn=45°наверняка существует и другой вариант решения, возможно, даже не один, но ответ будет таким же.  [email  protected]

Явсе-таки рискну выложить решение через векторы. может, кому-нибудь понадобится такое решение. попробуем свести к нахождению угла между векторами nm и nd. поместим начало координат в точку а. тогда координаты точки d нам известны: d(k; 0), где к - сторона данного нам квадрата. координаты точки: m(хо; yо), причем эта точка лежит на диагонали квадрата и поэтому yo=xo. запишем так: м(хо; хо). точки n и d - не что иное, как точки окружности радиуса r=md=mn. чтобы найти координаты точки n, надо найти точку пересечения окружности (с центром в точке м и радиусом mn=md) и прямой вс, параллельной координатной прямой х. уравнение этой прямой: y=k, где к - сторона нашего квадрата. итак, зная координаты трех точек: m, n и d, мы найдем все необходимое для вычисления угла между векторами nm и nd, то есть искомого угла α. отметим, что < mnd=< mdn, так как треугольник mnd равнобедренный (mn=md). приступим к вычислениям. уравнение окружности с центром м(хо; хо) и радиусом r: (х-хо)²+(y-хо)²=r², где r = |nm| (радиус равен модулю вектора mn). чтобы найти точку пересечения этой окружности с прямой y=k, надо подставить значение y в уравнение окружности и тогда имеем: (х-хо)²+(к-хо)²=|nm|². но модуль вектора nm равен модулю вектора md (радиусы одной окружности). |md| = √((k-xo)²+xo²), то есть r²=k²-2k*xo+xo²+xo²=(k-xo)²+xo². подставим это значение в уравнение нашей точки пересечения: (х-хо)²+(к-хо)²=(k-xo)²+xo² и получим:   х²-2хо*х+хо²-хо²=0 или х(х-2хо) =0. у нас есть два корня, один из которых (х=0) нас не удовлетворяет по условию . итак, точка n имеет координаты: n(2*xo; k). теперь у нас есть координаты всех трех точек: м(хо; хо), n(2*xo; k) и d(к; 0). вычислим координаты векторов: nm{xo-2xo; xo-k} или nm{-xo; xo-k},  nd{k-2xo; -k}. их модули: |nm| = √(xo²+(xo-k)²) и |nd| = √((k-xo)²+k²). косинус угла между ними равен отношению их векторного произведения на произведение их модулей: cosα = (nm*nd)/(|nm|*|nd|). подставим известные величины и получим: cosα = [(-хо)*(k-2xo) +(xo-k)*(-k)]/*[√(xo²+(xo-k)²)*√((k-xo)²+k²)]. раскроем скобки и подобные: cosα = (2хо²-кхо+к²-кхо)/[√(2хо²-кхо+к²-кхо)*√(4хо-4кхо+2к²)]. cosα = 2хо²-2кхо+к²)/[√(2хо²-2кхо+к²)*√2*√(2хо-2кхо+к²)]. cosα = 1/√2 = √2/2. тогда угол α = 45°. итак, мы доказали, что угол α не зависит от нахождения точки м (в пределах от м(0; 0) до м(к/2; к/2), так как при нахождении точки м выше точки пересечения диагоналей не имеет смысла, поскольку тогда не будет существовать точка n) и этот угол равен 45°.

решение смотри во вложении.