Решить уравнения: а) |х-2|*(х-3)=2(х-2) б) 5|х-2|-3|x-1|=1

а) (х-2)*(х-3)=2(х-2)                 или                   (-х+2)*(х-3)=2(х-2)

х² - 5х + 6 = 2х - 4                                           -х² + 5х - 6 = 2х - 4 

х² - 7х + 10 = 0                                                 -х² + 3х - 2 = 0

х₁ = 5; х₂ = 2                                                      х² - 3х + 2 = 0 

                                                                        х3 = 2; х₄ = 1

проверка:

1. |5-2|*(5-3)=2(5-2)                                       3. 0=0

3*2 = 2*3                                                         4. |1-2|*(1-3)=2(1-2) 

6=6                                                                     -2 = -2

2. |2-2|*(2-3)=2(2-2)    

0=0 

 

x₁ = 1; x₂ = 2; x3 = 5 

 

б) каждый модуль приравниваем к 0:

х = 2 и х = 1

получается 3 промежутка: (-∞; 1), (1; 2), (2; +∞).

 

подставляем значение с первого промежутка (например, 0). оба модуля будут отрицательными, значит:

  5(-х+2)-3(-x+1)=1

-5х + 10 + 3х - 3 - 1 = 0

-2х = -6

х = 3 - но это число не из этого промежутка, поэтому этот промежуток не будет решением.

 

  подставляем значение со второго промежутка (например, 1,5). первый модуль будет отрицательным, а второй положительным, значит:

  5(-х+2)-3(x-1)=1

-5х + 10 - 3х +3 - 1 = 0

-8х = -12

х = 1,5

 

  подставляем значение с третьего промежутка (например, 3).  оба модуля будут положительными, значит:  

  5(х-2)-3(x-1)=1

5х - 10 - 3х + 3 - 1 = 0

2х =   8

х = 4

 

  х  ∈(1; 2) u (2; +∞) 

X²-0,5x-10,5< 0 x²-0,5x-10,5=0 d=0,25+42=42,25 x₁ = 0,5-6,5 / 2 = -3 x₂ = 0,5+6,5 / 2 = 3,5           +           -           + ₀₀> x           -3         3,5 x∈(-3; 3,5) x₁+x₂=0,5       3,5-3=0,5           x₁=3,5 x₁x₂=-10,5       3,5*(-3)=-10,5     x₂=-3 x²-x-6< 0 x²-x-6=0 x₁+x₂=1     3-2=1         x₁=3 x₁x₂=-6     3*(-2)=-6     x₂=-2       +         -           + ₀₀> x         -2         3 x∈(-2; 3)