Решить и постоить график: ребро куба abcda1b1c1d1 равно a.постройте сечение куба , проходящее через прямую c и середину ребра аd параллельно прямой dа1, и найдите площадь этого сечения.

не через прямую с, а через точку с.

смотрите как легко понять, что за сечение. раз плоскость сечения ii a1d, то и прямые, которые образуются при пересечении этой плоскостью граней aa1d1d и bb1c1c, тоже будут параллельны a1d. 

а1d лежит в плоскости  aa1d1d, и указать прямую в этой плоскости ii a1d, проходящую через середину ad легко - это прямая, проходящая через середины ad и аа1 (средняя линяя треугольника аа1d). если обозначить m - середина ad и k - середина аа1, то это отрезок мк.

что же касается плоскости  bb1c1c, то тут еще проще - прямая ii a1d и проходящая через точку с - это диагональ b1c. 

таким образом, сечение - это равноберенная трапеция мкв1с, причем

b1c = a*√2; мк = в1с/2 = a*√2/2;   mc = kb1 = a*√5/2; (мс - гипотенуза в прямоугольном треугольнике mdc с катетами a и a/2);

осталось найти высоту этой трепеции. 

(нарисуйте её отдельно "на плоскости", проставьте размеры)

проще всего продлить боковые стороны до пересечения. верхнее основание в получившемся равнобедренном треугольнике будет средней линеей, и искомая высота будет равна половине высоты этого треугольника к основанию b1c. боковая сторона его равна 2*мс =  a*√5, половина основания равна  a*√2/2, и высота треугольника  a*√(5 - 1/2) =  a*3*√2/2; то есть высота трапеции  a*3*√2/4;

площадь  мкв1с равна s = (a*3*√2/4)*(a*√2 +  a*√2/2)/2 = a^2*9/8;

остюда получается интересное следствие. дело в том, что проекцией этого сечения на abcd является трапеция ambc, площадь которой s1= a^2*3/4;

поэтому, если обозначить ф линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и боковой грани abdc, то cos(ф) = s1/s = 2/3; этот результат можно было бы получить другим путем - достаточно найти расстояние от в до мс, оно равно a*2/√5, откуда сразу расстояние от в1 до мс равно a*3/√5, и  cos(ф) =   2/3. это было бы другим способом вычисления площади s, поскольку s1 считается элементарно, а s = s1/cos(ф); попробуйте разобраться: ).

расстояние м/у прямыми cc1 и bd равно (a *корень из 2)/2. в основании куба лежит квадрат abcd. bd - это гипотенуза прямоугольного треугольника bdc с катетами a. она равна корень из а в квадрате плюс а в квадрате, т.е. а корней из двух. а расстояние м/у вашими прямыми будет равно ас пополам. но так, как ac равно bd, то bd делим на 2. и получаем (а*корень из 2)/2.

возможно как вариант: