Около окружности радиуса 5 описана равнобочная трапеция. расстояние между точками касания боковых сторон равно 8. найти площадь трапеции.

Пусть трапеция abcd; ab = cd; пусть точки касания ab с окружностью m, bc - k; cd - n; ad - p; у  дельтоида mknp известны обе взаимно перпендикулярные диагонали (mn = n =  8; очевидно, что kp = 2*r = 10); центр окружности радиуса  r = 5  пусть o, лежит в середине kp. площадь трапеции s = p*r = r*(ab + bc + cd + ad)/2 = r*(2*ab);   поскольку суммы противоположных сторон равны, и  ab + cd = 2*ab = p ; треугольник aob - прямоугольный, его гипотенузу ab надо найти,  высота равна om = r; треугольник kmp тоже прямоугольный, так как kp - диаметр.  ∠oab = 90° -   ∠moa; то есть  ∠moa =  ∠abo; ∠moa  = (1/2)*∠mop =  ∠mkp; получилось  ∠abo =  ∠mkp;   то есть прямоугольные треугольники aob и  mkp подобны.  гипотенуза треугольника mkp kp = 2*r; высота n/2; ясно,  что  отношение высот равно отношению гипотенуз, то есть r/ab = (n/2)/(2*r); ab = 4*r^2/n; p = 2*ab = 8*r^2/n; s = 8*r^3/n; s = 125.

Четырехугольник можно описать около окружности только тогда, когда равны суммы его противоположных сторон. так как 12 + 28 = 40, то эти стороны не являются противоположными, а значит они смежные. 72 - 40 = 32 (см) - сумма двух других смежных сторон пусть одна их этих сторон равна х, тогда 32 - х   - другая из смежных сторон 12+ х = 28 + 32 - х 2х = 48 х = 24 (см) - одна сторона 32 - 24 = 8 (см) - другая сторона ответ: 8 см