Одна из диагоналей равнобокой.трапецию на равнобедренные треугольники. найдите острый угол между диагоналями трапеции.

Пусть основания трапеции a (большее) и  b, боковая сторона по условию тоже равна b, а диагональ a. легко видеть, что диагональ является биссектрисой угла  α трапеции  при большем основании,  поскольку треугольник со сторонами b и b - равнобедренный. угол между диагональю и большим основанием равен углу диагонали с меньшим основанием, и - следовательно - равен углу диагонали с боковой стороной. тогда из равнобедренного треугольника, образованного большим основанием, диагональю и боковой стороной, получается  α/2 + 2*α = 180°;   α =  72°; этот угол, само собой, равен углу между диагоналями - угол между диагоналями является внешним при вершине  для равнобедренного треугольника, образованного двумя диагоналями и большим основанием, у которого углы при основании равны  α/2;   у этой есть важное и совсем  нетривиальное продолжение.  если продлить боковые стороны до пересечения, то угол при вершине получившегося треугольника будет равен 180° - 2*72° = 36°; получился еще один равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны - диагональ,  и боковая  сторона "достроенного" треугольника. то есть у "достроенного" треугольника с основанием b боковые стороны равны диагонали a.  весь же треугольник (включая трапецию) можно описать так - это равнобедренный треугольник, у которого равны между собой три отрезка -  основание, биссектриса угла при основании и отрезок боковой стороны от вершины до точки пересечения с биссектрисой. этих свойств треугольника достаточно, чтобы угол при основании был равен 72°; отсюда получается по свойству биссектрисы  a/b = (b + a)/a; или 4*x^2 + 2*x - 1 = 0; где x = b/(2a) = cos(72°);   отсюда cos(72°) = ( √5 - 1)/4; с тригонометрии для cos(72°) (или, что то же самое, sin(18°)) можно получить кубическое уравнение. его тоже можно решить, конечно. но с построенного треугольника для cos(72°) получается квадратное уравнение. это ценный результат.

6+6+9=15+6=21 элементарно