Ввыпуклом четырехугольнике авсд углы дас и двс равны. докажите, что углы сдв и сав также равны.

На самом деле в условии неявно предполагается, что точки a и  b лежат в одной полуплоскости относительно прямой cd. в противном случае это не так : ). я в решении этим пользуюсь. все точки, из которых отрезок dc виден под тем же углом, что и из точки а, лежат на дуге cad окружности, описанной вокруг треугольника abc. доказать это просто - если точка b лежит где то в другом месте (в одной полуплоскости с точкой a), то прямая db или прямая  cb пересекает дугу cad  (пересекать дугу могут и обе прямые, но важно именно то, что одна прямая обязательно  пересекает дугу), и из точки пересечения b1 хорда видна под тем же углом, то есть получается треугольник bb1c (или  bb1d, берется именно та прямая, которая пересекает дугу cad), у которого внешний угол равен внутреннему. чего быть не может : ). поэтому четырехугольник abcd вписанный, и углы cdb и  cab опираются на дугу cb. поэтому они равны. 

Вариант решения. обоозначим точку пересечения dв и ас буквой о. рассмотрим треугольники аоd и вос. они подобны.  в них имеются два равных угла ( кроме dас=dвс равны и вертикальные углы при о.) (i признак подобия треугольников.  если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.)соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны.    dо: ос=ао: ов.  в треугольниках dос и аов вертикальные углы при о равны, стороны одного треугольника, содержащие этот угол,   пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.  эти треугольники подобны. (iii признак подобия треугольников.  если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами,   равны, то такие треугольники подобны).  следовательно,  сd: ав=dо: оа,  и  углы сдв и сав, заключенные между пропорциональными сторонами этих треугольников,   равны. [email  protected]

ответ смотреть на фото.