Треугольник abc задан координатами своих вершин: a(2, 4) b(9, 5) c(6. 0). найти: а)уравнение и длину высоты bd б)уравнение и длину медианы bm в)угол f между высотой bd и медианой bm г)уравнение биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине a

Треугольник abc задан координатами своих вершин: a(2, 4) b(9, 5) c(6. 0). найдем: а)уравнение и длину высоты bdуравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁; у₁) и (х₂; у₂)уравнение ас: -4(x-2)=4(y-2)x+y-6=0n₁(1; 1)- нормальный вектор прямой ас.координаты нормального вектора прямой вд n₂(-1; 1)так как прямые перпендикулярны, то нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0.уравнение прямой вд : -х+у+с=0 значение с найдем, подставив в данное уравнение координаты точки в.-9+5+с=0, с=4уравнение прямой вд: -х+у+4=0найдем координату точки д как точки пересечения прямых ас и вд, решаем систему уравнений: сложим уравнения: 2у-2=0. у=1, тогда х=-у+6=-1+6=5координата точки д (5; 1) длина вд=√(5-9)²+(1-5)²=√32=4√2 б)уравнение и длину медианы bmкоординаты точки м как середины отрезка ас: х=(2+6)/2, у=(4+0)/2м(4; 2)уравнение прямой вм как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами имеет вид:   или 3х-5у-2=0вм=√(4-9)²+(2-5)²=√34в)угол α между высотой bd и медианой bmвектор bd имеет координаты (-4; -4), вектор вм имеет координаты (-5; -3)bd·bm=|bd|·|bm|·cosα ⇒ г)уравнение биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине a длина стороны ав=√(9-2)²+(5-4)²=√50, длина стороны ас=√(6-2)²+(0-4)²=4√2 биссектриса ак делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: вк: кс=ав: ас, вк: вс=(√50): (4√2)=5/4 координаты точки к, как точки делящей отрезок вс в отношении 5|4 уравнение биссектрисы ак как прямой проходящей через две точки а и к: нормальный вектор  прямой ак - биссектрисы  угла а: n₃(1: 3) нормальный вектор биссектрисы внешнего угла, перпендикулярной биссектрисе ак, имеет координаты n₄=(-3: 1), так как должно быть:   n₃· n₄=0 тогда уравнение биссектрисы внешнего угла -3х+у+с=0 значение с найдем подставив в данное уравнение координаты точки а: 3(-2)+4+с=0, с=2 уравнение биссектрисы внешнего угла    -3х+у+2=0

Впризме основания авс и а1в1с1 равны, значит ас=а1с1. ам=мс, а1р=рс1, значит мс=а1р. аа1с1с - параллелограмм, значит  ∠аа1с1=∠асс1. аа1=сс1, мс=а1р,  ∠аа1с1=асс1, значит тр-ки аа1р и сс1м равны, значит ар=с1м., значит арс1м - параллелограмм. ар║мс1. в тр-ках авс и а1в1с1 мо и рк - средние линии. ав║мо, а1в1║рк, ав║а1в1, значит мо║рк. если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.в плоскостях мс1о и арк ар║мс1 и мо║рк, значит плоскости параллельны. доказано.