А) медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 13 см. знайдіть катети,якщо периметр трикутника дорівнює 60 см. б) з вершини прямого кута прямокутного трикутника до гіпотенузи проведено медіану та висоту, довжини яких відповидно дорівнюють 25 та 24 см. обчисліть периметр трикутника.

1)дан прямоугольный треугольник авс: угол с-прямой. медиана прямоугольного треугольника равна радиусу описанной окружности, а гипотенуза - диаметр этой окружности. поэтому гипотенуза ав=26 см. ав+вс+ас=60, тогда ав+вс=60-26=34. пусть ав=х, тогда вс=34-х по теореме пифагора  х²+(34-х)²=26² х²-34х+240=0, d=b²-4ac=(-34)²-4·240=196=14² x₁=(34+14)/2      х₂=(34-14)/2 х₁=24                  х₂=10 тогда другой катет соответственно 34-24=10 или 34-10=24 2) пусть дан прямоугольный треугольник авс, с- прямой угол. се- медана, се=25. ск-высота, ск=24. гипотенуза прямоугольного треугольника-диаметр описанной окружности. радиус описанной окружности равен медиане. ав=50. из прямоугольного треугольника ске: ке²=се²-ск²=25²-24²=49=7² ке=7, ка=7+25=32, тогда ас²=24²+32²=1600=40² ас=40 вк=50-32=18 вс²=вк²+ск²=18²+24²=900=30² вс=30 ответ ас=40, вс=30, ав=50. р=120 см.

Объем шара находят по формуле: v=(4/3)*π*r³  следовательно, для решения нужно найти радиус этого шара.  сделаем рисунок.  плоскость основания пирамиды лежит на сечении шара. сечение - окружность, радиус оа которой равен 2/3 высоты основания. так как радиус он вписанной в основание окружности равен 3,   а это 1/3 высоты основания, то 2/3 равны 6.    для нахождения радиуса описанного вокруг пирамиды шара есть формула: r=b²: 2h, где b боковое ребро, н - высота пирамиды.  боковое ребро можно найти из прямоугольного треугольника аом по т. пифагора.  ам²=(ом²+оа²)=52 тогда r=b²: 2h=52: 8=6,5 v=(4/3)*3,14*(6,5)³ =1149,76 ( или, если на полный π умножить в калькуляторе, 1150,346 (ед. объема)  нужные формулы не всегда во-время вспоминаются.  есть другой способ нахождения этого радиуса. (см. рисунок ) ае - диаметр окружности, описанной вокруг основания пирамиды, т.к. основание лежит на этой окружности. мт - диаметр шара. ае и мт - хорды, и произведения их отрезков, образованных точкой пересечения, равны. пусть тр - радиус, отрезок от=х.  ао=ое=6 (см. выше) тогда радиус равен мо+от=4+х⇒ мо*ор=ао*ое 4*(4+х)=6*6 16+4х=36 4х=20 х=2,5⇒ r=4+2,5=6,5 v=(4/3)*3,14*(6,5)³ =1149,76   или более точно 1150,346 (ед. объема)