Не могу решить. окружность, вписанная в равнобедренный треугольник авс, касается основания ас в точке м и боковой стороны ав в точке n. отрезки вм и сn пересекаются в точке к. найти радиус окружности, описанной около треугольника авс, если известно, что ас=12 и вк: км=4: 3.

Точка касания окружности с bc - t; p - точка пересечения nt и  bm; ясно, что nt ii ac. поэтому bn/an = bp/pm; задано, что bk/km = 4/3; поэтому km/bm = 3/7; bk/bm = 4/7;   bp/bm = pt/mc; из подобия bpt и  bmc; pt/mc =  pt/am = pk/km; из подобия kpt и  akm; то есть bp/bm = (bk - bp)/km; или (bp/bm)*(km/bm) = bk/bm - bp/bm; (bp/bm)*(1 + km/bm) = bk/bm; (bp/bm)*(1 + 3/7) = 4/7; получилось bp/bm = 2/5; что дает pm/bm = 3/5; bp/pm = 2/3; окончательно bn/an = bp/pm = 2/3; поскольку an = am = ac/2 = 6; то bn = 4; треугольник abc получился составленным из двух "египетских" треугольников - его стороны 10,10,12, откуда легко найти, что высота к основанию ac равна 8; r = 10*10*12/(4*8*12/2) = 100/16 = 25/4; все сложности с решением на самом деле происходят от незнания теорем чевы и ван-обеля. я не могу понять, то ли эти теоремы не входят в программу (как было в моё время), то ли это "на усмотрение учителей". по-моему - глупость. смотрите, как эта решается с теоремы ван-обеля. bn/na + bt/tc =  bk/km; откуда bn/na = 2/3; далее - по тексту.  фактически приходится доказывать это для частного случая.

S=ab a: b=8: 15 х-1 часть а=8х,в=15х диагональ вд вд²=а²+в² (8х)²+(15х)²=34² 64х²+225х²=1156 289х²=1156/289 х²=4 х=2 а=2*8=16 в=2*15=30 s=16*30=480 ответ: 480