Коло центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета і проходить через вершину протилежного гострого кута. знайдіть радіус кола, якщо катети дорівнюють 5см і 12см.

Пусть центр окружности- о, а точка касания окружности с большим катетом- d. 1) по т. пифагора найдем гипотенузу ав=13 2)do=ob=r так как радиусы 3) do перпендикулярно катету ас (по свойству радиуса проведенного к точке касания) следовательно do параллельно cb и значит треугольник aod подобен треугольнику abc. 4) ao=13-r, из подобия треугольников составим пропорцию: bc/do=ab/ao 5/r=13/(13-r) откуда найдем r=65/18

пусть ad> bc , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований ad , положим что y,w середины сторон ab и cd соответственно , тогда yw средняя линия трапеции , значит ad+bc=2yw из условия мы знаем что yw равна либо 15 либо 7 , положим что ab и cd пересекаются в точке e , тогда aed=180-(75+15)=90 , положим также что z,x это середины сторон основании bc,ad соотвественно , пусть n точка пересечения yw и zx , тогда по замечательному свойству трапеции точки e,z,x лежат на одной прямой , учитывая что угол aed прямой , получаем что ax=ex=ad/2 , ez=bz=bc/2 , но так как ex=ez+zx откуда окончательно получаем две системы  

{ad-bc=2*7  

{ad+bc=2*15  

или  

{ad-bc=2*15  

{ad+bc=2*7  

подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем ad=22 , bc=8 , значит ответ bc=8.