(решите всё подробно с объяснениями): в полушар радиуса r=8 вписана правильная треугольная призма так, что одно её основание принадлежит плоскому основанию полушара, а все вершины другого основания призмы расположены на сферической поверхности полушара. укажите наибольший объем такой призмы.

Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием. радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара r = 8 связаны теоремой пифагора, то есть r² = r²-h²; сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением r²= a²/3, а²=3r²; а площадь s основания призмы равна s = a²*√3/4 = r²*3√3/4 = (3√3/4)*(r²- h²); объем, само собой, равен v = s*h = (3√3/4)*(r²-h²)*h; в точке экстремума v'(h) = (3√3/4)*(r²- 3*h²) = 0; то есть h = r/√3; поскольку v(h) = 0; при h = 0 и h = r; v(h) > 0 при 0 < h < r; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. значение v в точке максимума равно v = r³/2=8³/2=256

1да, все числа простые 2 нет, 7*9^= 7*3*3*3*3 3нет, 180= 3*3*2*5*2