Втреугольнике авс через точку n, взятую на стороне вс, проведена прямая, пересекающая сторону ас и пересекающая в точке м продолжение стороны ва. найти отношение ва: ам, если известно, что данная прямая делит площадь треугольника авс в соотношении 4: 1 и вn=2nc.

Это на теорему менелая. если прямая пересекает ac в точке k, то  bn*ck*am/(nc*ka*mb) = 1; если обозначить kc = p*ac; am = q*ba; то 2*p*q/((1-p)*(1+q)) = 1;               (1) треугольник cnk по условию  имеет площадь 1/5 от площади abc; (я считаю, что площадь bnka в 4 раза больше площади cnk. если наоборот, то положение точки k не может соответствовать условию - она будет вне треугольника.) по условию  nc = bc/3; поэтому  расстояние от n до ac составляет 1/3 расстояния от b до ac. отсюда (площадь cnk) = p*(1/3)*(площадь abc); или p/3 = 1/5; p  = 3/5; p/(1 - p) = 3/2; если подставить это в (1)  q/(1 + q) = 1/3; q = 1/2; то есть am = ba/2;   доказательство теоремы менелая необыкновенно простое. если провести какую-то прямую вне треугольника, так, чтобы она пересекалась с прямой nm в точке d где-то вне треугольника, потом провести через три вершины прямые параллельно nm, которые пересекут эту  прямую в точках a2; b2; c2; (ну, в смысле aa2 ii bb2 ii cc2 ii mn, и напомню, точка к   -  тоже на mn)то (bn/nc)*(ck/ka)*(am/mb) = (b2d/dc2)*(c2d/da2)*(a2d/db2) = 1; это всё доказательство. с  учетом "знака", то есть "направления" отрезка, пишут обычно -1; тут при составлении равенств важно не запутаться в отрезках :

тр - треугольник/ - угол

Дано:

тр BAE

тр DCE

BE = EC

AE = ED

Доказать: BA = DC = AC

Доказательство:

Рассмотрим тр BAE, тр AEC и тр DCE,

   BE = EC (по условию)

   AE = ED(по условию)

   E - общая точка

А из равенства треугольников,

   E - общая

   BE = EC

   AE = ED

   /BEA = /DEC = /

   тр BAE = тр AEC = тр DCT (по двум сторонам и углу между ними)

Так как тр BAE = тр AEC = тр DCT,

   BA = AC = CD