Диаметры ab и cd данного круга взаимно перпендикулярны. на дуге acb взяты произвольные точки p и q, а внутри круга проведена дуга ab окружности с центром в точке d. хорды dp и dq пересекаются с этой дугой соответственно в точках m и n, точки p1 и q1 - основания перпендикуляров, проведённых из точек p и q к прямой ab. докажите, что площадь криволинейного четырёхугольника pqnm равна площади треугольника dp1q1

Без ограничения общности достаточно доказать это, если точка q совпадает с точкой c.  на чертеже видно, что площадь nmpc равна  snmpc = sdpc - sdpn; имеются ввиду фигуры с указанными вершинами, ограниченные линиями, присутствующими на чертеже. к примеру, sdpn - это площадь сектора окружности с центром в точке d. радиус этой окружности db = r√2; где r = oc; - радиус окружности с центром в точке о. фигура dpc радиусом op делится на равнобедренный треугольник dop и сектор меньшей  окружности poc.  если принять  ∠poc =  α, то  ∠mdn =  α/2; если угол  α измеряется в радианах, то в общем случае площадь сектора круга  равна r^2*α/2 (если  α = 2π; то получается площадь круга  π*r^2) поэтому snmpc = sdpo + spoc - sdpn = =  r^2*sin(π -  α)/2 + r^2*α/2 - (r√2)^2*(α/2)/2 = r^2*sin(α)/2;   поскольку высота ph = r*sin(α) = p1o (см. условие   про точку p1), то всё доказано. sdpo = sdp1o; если точка q не совпадает с c, то это просто означает sdpq = sdpo + sdqo  (или минус, в зависимости от того, где точка q)  

объем пирамиды v = sосн*h/3

высота пирамиды h = a*sin30 = 6/2 = 3

радиус вписанной в основание окружности r=a*cos30=6*√3/2=3√3

площадь основания sосн = 3r²√3 = 3*(3√3)²*√3 = 81√3

v =  81√3*3/3  =  81√3