Востроугольном треугольнике abc провели высоту bh. из точки h на стороны ab и bc опустили перпендикуляры hk и hm. найдите отношение площади треугольника mbk к площади четырехугольника akmc если bh=3 а радиус окружности описанной около треугольника abc равен 5.

Если на bh, как на диаметре построить окружность, то она пройдет через точки k и  m, поскольку углы bkh и  bmh прямые. угол bhk равен углу cab, так как bh перпендикулярно ca; hk перпендикулярно ab (стороны углов перпендикулярны). при этом угол bhk - вписанный в построенную окружность и опирается на дугу kb. на эту же дугу опирается угол kmb. поэтому угол kmb = угол  bkh = угол  cab.  таким образом, треугольники abc и  mbk подобны по двум углам (угол abc у них общий). bh = 3  - диаметр описанной вокруг mbk окружности. диаметр  описанной вокруг abc окружности по условию равен 5*2 = 10; поэтому коэффициент подобия (отношение соответственных сторон треугольников) равно 3/10; отношение площадей 9/100; ясно, что площадь четырехугольника akmc составляет 91/100 площади abc, и искомое отношение равно 9/91;  

Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается, а вписанный   измеряется половиной дуги, на которую опирается. так что центральный угол = 80, а вписанный 40