Высоты аа1 и сс1 остроугольного треугольника авс пересекаются в точке е.докажите что углы cc1a1 и сaa1 равны.

высоты аа1 и сс1 остроугольного треугольника авс пересекаются в точке е.  докажите что углы cc1a1 и сaa1 равны. 

способ  1) 

доказательство через вписанные  углы в  описанной окружности. 

т.к. в прямоугольных  треугольниках ас1с и аа1с общая гипотенуза, то вокруг них можно описать общую окружность. в ней вписанные углы  cc1a1 и сaa1 опираются на дугу, стягиваемую общей для них хордой. вписанные углы, опирающиеся на одну дугу,    равны, что и требовалось доказать. 

способ 2) 

∆ аес1 и ∆ сеа1 - прямоугольные и имеют равные вертикальные углы при е. -   если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

отношения катетов, противолежащих равным углам подобных треугольников, к гипотенузе - равны ( это отношение - синусы равных углов).⇒

                  ес1: еа=еа1: ес. 

рассмотрим ∆  еас и   ∆ еа1с1. они имеют равные вертикальные углы при е, а их стороны. содержащие равные углы, пропорциональны. 

если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. то такие треугольники подобны. 

следовательно,  ∆еас и   ∆ еа1с1 подобны. 

углы еас и ес1а1 лежат напротив сходственных сторон, следовательно, равны, ч.т.д