Утреугольника abc сторона ac больше чем сторона bс. медиана cd делит угол c на два угла. какой из них больше и почему?

для простоты записи обозначим углы, на которые медиана разделила угол с так:

уг. дса = уг.1, уг.дсв =уг.2

также обозначим уг.вдс = уг.α, тогда уг.адс = 180° - α и ад=вд =а.

рассмотрим тр-к вдс.

по теореме синусов: sinα : bc = sin уг.1 : а, откуда

sin уг.1 = sinα · а : bc

рассмотрим тр-к адс.

по теореме синусов: sin(180°-α) : аc = sin уг.2 : а,

или sinα : аc = sin уг.2 : а, откуда

sin уг.2 = sinα · а : аc

сравним синусы углов 1 т 2. поскольку по условию ас > вс, то sin уг.2 < sin уг.1

и, следовательно,

уг.2 < уг.1

ответ: угол асд (уг.2), примыкающий к стороне ас меньше угла всд (уг.1), примыкающему к стороне вс

 

 

известно, что медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. поэтому s тр-ка bcd = s тр-ка acd . площадь треугольника можно определить по формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними. значит:   (1/2) bc*cd*sin bcd = (1/2) ac*cd*sin acd. делим обе части на (1/2)*cd^

bc*sin bcd = ac* sin acd. делим обе части на sin acd*bc^

sin bcd/sin acd = ac/bc.   так как ас> bc, то и sin bcd > sin acd. оба эти угла острые, т.е. значение синуса тем больше, чем больше угол. отсюда угол bcd> угла acd 

Интересные! №1. так, тут : угол dab=90 гр., так как опирается на диаметр bd, тоже самое с углом bcd, сумма adc и abc=180 гр. (по свойства описанной около четырёхугольника окружности), а дальше достроим радиусы oa и oc, они будут равны. рассмотрим треугольник aob: ae перпендикулярна ob, она же делит пополам ob, треугольник abo - равнобедренный, тоже самое и с треугольником cbo, он также равнобедренный, причём треугольники эти равны. рассмотрим четырёхугольник abco: ob перпендикулярно ac, ao=oc(так как ac перпендикулярна диаметру и делится пополам), ab=bc, понятное дело - это ромб, так как его диагонали делятся пополам  (ac и bd - диагонали), тогда ab=bc=co=oa, обозначим точку пересечения диагоналей e, тогда рассмотрим треугольник dab, ao - медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы(тут радиусу), а be = половине радиуса, рассмотрим треугольник abc: он равнобедренный, be - высота, рассмотрим треугольник abh, обозначим be за x, ab=2x, треугольник прямоугольный, воспользуемся определением синуса угла a  , угол a=30 градусов, угол c = 30 гр., угол abc = 120 градусов, угол adc равен 180-120=60 градусов. теперь с дугами: дуга ab=2* угол adb, угол adb   равен половине угла adc(db - биссектриса равнобедренного треугольника adc), в  общем дуга ab=45 гр., тоже самое с дугой bc; дуги cd и ad равны ( опираются на равные углы dac и dca), углы равны (180-45): 2=67,5 градусов, дуги равны по 135 градусов. №2.тут всё не так сложно, главное знать 2 формулы  , r=4,5(радиус вписанной окружности), p - полупериметр треугольника,    - это радиус описанной окружности