Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 5n^2 + 10 (пять н в квадрате плюс десять) не может быть квадратом натурального числа. заранее !

покажем что число n^2+2 не делится на 5. если число делится на 5, оно заканчивается на 0 или 5. значит n^2 заканчивается на 8 или 3.

составим таблицу оконечных цифр квадратов.

1; 4; 9; 6; 5;

5n^2+10=5(n^2+2) c учетом доказанного получаем, что выражение не является полным квадратом.

нужно доказать что:

для этого достаточно доказать, что если

    то m не будет натуральным числом.

докажем это:

не является натуральным числом, это иррациональное число, т.к число является иррациональным для любого натурального n, не являющегося точным квадратом.

  даже если это выражение принадлежит к множеству натуральных чисел, то     не будет принадлежать множеству натуральных чисел, потому что   не является натуральным, а множество натуральных чисел замкнуто относительно умножения, т.е любое натуральное число может быть представлено только как произведение двух натуральных чисел.

значит получили противоречие.

следовательно, если   , то m не будет натуральным числом.