Втреугольнике abc на сторонах ab и bc взяты точки k и m соответственно, причём ∠ kmc+∠ a= 180°: а) докажите, что km/ac=bk/bc ; б)найдите отношение ab : bm , если площадь четырёхугольника akmc относится к площади треугольника bkm как 8 :
1.

если построить окружность по трем точкам к, м и с, то точка а неизбежно попадет на неё. в самом деле, предположив, что это не так, и рассматривая углы кас и ка1с (а1 - точка пересечения ас с окружностью, проходящей через к, м, с), можно увидеть, что в треугольнике аа1к внешний угол равен внутреннему, поскольку

угол ка1с = 180 - угол кмс и  угол кас = 180 - угол кмс (это задано в условии).

поэтому точка а может лежать только на построенной окружности. то есть вокруг акмс можно описать окружность. 

если провести в четырехугольнике акмс диагнонали ам и кс, то

угол вкм = угол кам + угол кма = угол ксм + кса = угол вса (углы кам и ксм - вписанные, опираются на дугу ак описанной окружности вокруг акмс, то есть они равны, аналогично углы кма и кса вписанные, опираются на дугу ка, поэтому и они равны).

теперь видно, что в треугольниках авс и вкм угол в общий, а угол вкм = угол вса, то есть эти треугольники подобны. 

при этому вк (в тр-ке вкм) соответствует вс (в тр-ке авс), а вм соответствует ав.

а) следует непосредственно из подобия треугольников авс и вкм.

б) из условия следует, что площадь тр-ка вкм составляет 1/9 от площади тр-ка авс. поэтому соответственные стороны этих подобных треугольников отсносятся как 1/3.  то есть ав/вм = 3