Вправильной пятиугольной пирамиде сторона основания равна а, двугранный угол при основании b. каков радиус вписанного шара?

пусть н - высота пирамиды. sosn - площадь основания, sboc - боковой, s - площадь всей поверхности, s = socn + sboc; v - объем, r - радиус вписанного шара.

sboc*cosb = socn;

s = socn*(1 + 1/cosb);  

v = socn*h/3; socn = 3*v/h;

s = (3*v/h)*(1 + 1/cosb);

h/(1 + 1/cosb) = 3*v/s;  

справа стоит радиус вписанного шара, потому что

v = r*s/3;

если это не понятно - соедините мысленно центр шара с вершинами и сложите объемы всех полученных при этом пирамид с высотами, равными r, и боковыми гранями в качестве оснований.

r =  h/(1 + 1/cosb);

осталось вычислить высоту пирамиды.

если через высоту провести плоскость перпендикулярно стороне основания, то получится прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. острый угол этого треугольника равен b. проекция апофемы равна m = (a/2)*ctg(π/n), где n = 5; (это расстояние от центра основания до стороны) при этом h = m*tgb;

r = m*tgb/(1+1/cosb) = m*sinb/(1 + cosb) = (a/2)*ctg(π/n)*sinb/(1 + cosb);  

r = (a/2)*ctg(π/5)*sinb/(1 + cosb); это ответ. 

как выразить функции углов, кратных 18 градусам, в радикалах - это отдельная . в данном случае нет смысла ее решать - все равно угол b не задан.