Впрямоугольном треугольнике с вершины прямого угла до гипотенузы проведено медиану длинной 25 см и высоту длинной 24 см . найдите периметр треугольнника и его площу

треугольник авс, угол с прямой, см - медиана, см = 25, сн - высота, сн = 24.

ясно, что ас = 2*см = 50. площадь авс равна 24*50/2 = 600;

треугольник снм - прямоугольный треугольник с катетом 24 и гипотенузой 25, то есть это пифагоров треугольник (7,24,25). мн = 7. 

поэтому ан = ам + мн = 25 + 7 = 32, вн = 25 - 7 = 18.

теперь можно сосчитать по теореме пифагора катеты, но это скучно.: )

рассмотрим внимательнее треугольники асн и всн.

тр-к асн имеет катеты 24 и 32, и легко видеть, что это треугольник, подобный "египетскому" со сторонами (3,4,5) с коэффициентом подобия 8. поэтому у этого треугольника стороны (24,32,40). ас = 40. 

тр-к всн подобен асн, то есть это тоже "египетский" треугольник, его стороны (18,24,30). вс = 30.

треугольник авс тоже подобен асн, и он тоже "египетский", его гипотенуза 50, поэтому это треугольник со сторонами (30,40,50). : (по одной гипотенузе я нашел все стороны :

приметр равен 30 + 40 + 50 = 120.

я обращаю внимание на то, что "экономничное" решение на много короче. после нахождения ан = 32, констатируется подобие авс и асн,

то есть св/ав = сн/ан = 24/32 = 3/4. это - отношение катетов "египетского" треугольника, поэтому авс это треугольник (30,40,50) с периметром 120. это все.

в прямоугольном треугольнике на середине гипотенузы лежит центр описанной окружности, то медиана является также радиусом описанной окружности, то гипотенуза равна 50 см.

площадь данного треугольника   s= , где а - гипотенуза, h - высота, проведенна к гипотенузе

s= см^2

высота, проведенная к гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. , где с и d - проекции катетов на гипотенузу

пусть одна проекция равна х см, то вторая (50-х) см. то подставляя в формулу, имеем:

  576=50x-

x1=32,   x2=18

значит проекции катетов на гипотенузу 32 см и 18 см.

по т. пифагора найдем катеты:

катет1=[tex]\sqrt{24^{2}+32^{2}}=40 

катет2=[tex]\sqrt{24^{2}+18^{2}}=30 

p=50+40+30=120 см

s=a²

s=6,7²=6,7*6,7=44,89 мм²