Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а,угол между боковыми гранями равен 2φ.найдите длину стороны основания.

пусть пирамида имеет вершину s и в основании треугольник авс.

для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.

из точек с и в проведём к ребру аs перпендикуляры. в силу того, что грани аsc и аsв одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку к на ребре аs. эти перпендикуляры равны: ск = вк. следовательно, треугольник скв - равнобедренный.

мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями  аsc и аsв является линейный угол скв. итак, уг. скв = 2φ

из вершины к тр-ка скв опустим высоту кд(она же медиана, она же биссектриса) на сторону вс.

в прямоугольном тр-ке скд уг.скд = φ. половина сд стороны основания вс равна = 0,5х  или

0,5х = сk·sinφ.

в тр-ке аsc, являющемся боковой гранью, высоту ск можно найти из площади

s = 1/2 ck· as

или поскольку ребро as = a, то

s = 1/2 ck· а, откуда

ск = 2s/а.

для другой боковой грани - тр-ка bsc, равного тр-ку аsc та же площадь

s = 1/2 sд· вс  или

s = 0,5 sд· х.

из тр-ка сsд найдём sд

sд² = sc² - cд² или

sд² =а² - (0,5х)²

sд =√(а² - (0,5х)²)

теперь пошли обратно по "жирной" цепочке

подставим sд в s = 1/2 sд· х и получим

s = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х

s подставим в ск = 2s/а. получим

ск = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)

наконец, подставим ск в 0,5х = сk·sinφ.

0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.

преобразуем и найдём х

х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)

1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)

а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)

а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²

а² = sin²φ·(4а² - х²)

а² - 4а² ·sin²φ·=  - х²·sin²φ

а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ

х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания

ответ:

50° будет