Впрямоугольном треугольнике авс (угол с=90 градусов) проведена высота cd. докажите, что если угол cва равен 30 градусов, то ав: вd=4: 1.

высота в прямоугольном треугольнике делит его на треугольники подобные данному.

расмотрим соотношения между сторонами, учитывая, что против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы.

aс = ab/2,   dc = bc/2,   ad=ac/2

из данных соотношений следует, что ad = ac/2 = ав/4, т.е. ab: ad=4: 1

а вот ав: вd=4: 3, т.к. вd в три раза больше, чем ad

мб отношение 4: 3, или ab: ad?

пусть cd=х, тогда сb=2x(по теореме о катете, лежащего против угла 30 градусов) 

по теореме пифагора из треугольника сdb, получим, что db=х*корень из 3

по теореме о метрических соотношениях

сd^2=ad*db

ad=х^2\xкорень из 3= х\корень из 3= х*корень из 3\3

ab=ad+db=х*корень из 3\3 + х*корень из 3= 4х*корень из 3\3

тогда, ab: bd=4х*корень из 3\3 : х*корень из 3 = 4: 3

если ab: ad= 4х*корень из 3\3 : х*корень из 3\3= 4: 1

секущая проведена через центр окружности. касательная касается под углом - 90 градусов соединяешь о и в и получается прямоугольный треугольник. далее по теореме пифагора ав= корень из 169-144 и получается корень из 25 а это 5 вот и все решение)