На основании bc треугольника abc найдите точку m так, чтобы окружности вписаные в треугольники abm и amc взаимно касались

пусть в тр-ке авс найдена такая точка м. тогда есть две окружности. одна с центром в точке о1, касается стороны ав в точке e, отрезка ам в точке р и стороны вс в точке р1. очевидно, что ар = аe, be = bр1, mp1 = mp; вторая окружность с центром о2 касается стороны ас в точке т, отрезка ам в точке р и стороны вс в точке р2. ар = ат, ст = ср2, мр2 = мр.

всё, что надо сообразить : ) - что ае = ат (оба эти отрезка равны ар).

отметим на стороне ав точку е1 так, что ве1 = ве + мр, ае1 = ае - мр. аналогично отметим точку т1 на ас так, что   ст1 = ст + мр, ат1 = ат - мр.

рассмотрим три точки м, е1, т1. они следующими свойствами:

ае1 = ат1, ве1 = вм, см = ст1.

нетрудно понять, что это - точки касания вписанной в авс окружности.

доказать это проще простого - рассмотрим систему

x + y = a;

x + z = b;

z + y = c;

решение (выписывать его нет нужды) такой системы единственно. это - всё доказательство (ну, если кто не понял, точки касания вписанной окружности делят стороны именно так, а раз это можно сделать единственным способом, то : )

поэтому точка м - это точка касания стороны вс вписанной окружностью.