1+sinx*√(2ctgx)≤0 решите неравенство

1+sinx·√(2ctgx) ≤ 0

подкоренное выражение не может быть отрицательным

ctg x ≥ 0      0.5π ≥ x  > 0 это в 1-й четверти

                                1.5π ≥ x  > π это в 3-й четверти

в 1-й четверти sinx > 0 и выражение 1+sinx·√(2ctgx)> 0

в 3-й четверти sinx  < 0 и выражение 1+sinx·√(2ctgx)может стать меньше 0, если

sinx·√(2ctgx)  ≤ -1

делим на отрицательный синус

√(2ctgx) ≥ -1/sinx

обе части положительны

возводим в квадрат

2ctgx  ≥ 1/sin²x

2ctgx  ≥  1 + ctg²x

1 + ctg²x - 2ctgx ≤ 0

(1 - ctgx)² ≤ 0

квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому остаётся только

равенство нулю:

1 - ctgx = 0

ctgx = 1  (четверть 3-я! )

х = 5/4π

решение единственное: при х = 5/4π выражение 1+sinx·√(2ctgx) = 0

ну, и, разумеется следует добавить 2πn, тогда решение такое:

х = 5/4π +2πn

одз: sinx≠0

        0≤cosx≤1

x∈[π/2+πk, 2πk) k∈z

(ctgx-1)²  ≥ 0

ctgx=1

ответ: x=-3π/4+2πk, k∈z