Втреугольнике abc длины сторон cb, ca и ab соответственно равны 4,3 и 2. найти отношения в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла (считая от вершины b).

нисколько не посягая на приоритет лоры, я вот что сделаю -

обозначу a = cb = 4; b = ac = 3; c = ab = 2; (угол в лежит напротив стороны b.) 

точка о - точка пересечения биссектрис. вм - биссектриса угла в, м лежит на ас.

сторона b делится на отрезки, отношение которых

ам/мс= c/a, а их сумма ам + мс = b.

легко увидеть, что эти отрезки имеют длины см = b*a/(a+c) и ам = b*c/(a+c);

биссектриса угла в делится биссектрисой угла а в отношении bo/om = ab/am; считая от вершины в.

во/ом = c/(b*c/(a+c)) = (a+c)/b;  

это полезная формула. в условиях во/ом = (4 + 2)/3 = 2;

пусть дан треугольник авс, у которого ав=2см, вс=4см, ас=3см. проведем биссектрисы af, bk, ce, которые пересекаются в точке о. по свойству биссетрисы треугольника : биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам. 

рассмотрим биссетрису вк, применяя описанное свойство, имеем:

ак: кс=ав: вс

ак: кс=2: 4=1: 2

значит сторона ас состоит из 1+2=3 равных части. а так как ас=3 см, то одна часть составляет 1см, то ак=1 см, кс=2см.

рассмотрим треугольник вск, в нем со - биссетриса.используя тоже свойство, получим:

во: ко=вс: ск

во: ко=4: 2=2: 1

значит точка о делит биссектрису, проведенную из точки в в отношении 2: 1