Решить неравенства: 1) 3/x-1< 1-x 2)log(3основание)(3x+1)< 2 3)sgrt(x-3)/x-4< 1

1) 3/(x-1) < (1-x)

одз: х - 1 ≠ 0        ⇒     х ≠ 1

3 < -x² + 2х -1

-x² + 2х -1 - 3 > 0

-x² + 2х - 4 > 0

найдём нули функции  у = -x² + 2х - 4

-x² + 2х - 4 = 0

d = 4 - 16 = -12 (решений нет)

график функции   у = -x² + 2х - 4 - квадратная парабола веточками вниз. поскольку она не пересекает ось х, то все значения этой функции отрицательны, и неравенство -x² + 2х - 4 > 0 решений не имеет. поэтому и исходное неравенство  3/(x-1) < (1-x) решений не имеет.

2) log₃(3x+1)< 2

      log₃(3x+1)< log₃9

одз: 3x+1 > 0    ⇒ 3x > -1   ⇒  х > -1/3

поскольку основание логарифма 3 > 1, то между числами такое же соотношение, как и между логарифмами:

3x+1 < 9

3х < 8

х < 8/3

сопоставляя решение х < 8/3 с одз, делаем вывод, что решением неравенства

является интервал: х∈ (-1/3 ; 8/3)

3)√(x-3)/(x-4) < 1

одз: а) х - 3 ≥ 0  ⇒ х ≥ 3   б) x - 4 ≠ 0    ⇒  х ≠ 4

таким образом одз: х∉ [3; 4) и (4; +∞)

а) при х ∉ [3; 4) (x-4)< 0, поэтому

√(x-3)  > (x-4)

x-3 > х² - 8х + 16

х² - 9х + 19 < 0

х² - 9х + 19= 0

d = 81 - 76 = 5

x₁ = (9 - √5)/2 ≈ 3,38

x₂ = (9 + √5)/2 = 5,62

неравенство х² - 9х + 19  < 0 верно при х∈(3,38; 5,62)

но поскольку мы рассматривали (x-4)< 0, решением исходного неравенства √(x-3)/(x-4) < 1 будет только область

х∉ [3; 3,38) или, точнее х∉ [3; (9 - √5)/2)

б) при х ∉ (4; +∞) (x-4)> 0, поэтому

√(x-3)  < (x-4)

x-3  < х² - 8х + 16

х² - 9х + 19  > 0

х² - 9х + 19= 0

d = 81 - 76 = 5

x₁ = (9 - √5)/2 ≈ 3,38

x₂ = (9 + √5)/2 = 5,62

неравенство х² - 9х + 19  > 0 верно при х∈(-∞; 3,38) и ( 5,62; +∞)

но поскольку мы рассматривали (x-4)> 0, решением исходного неравенства √(x-3)/(x-4) < 1 будет только область

х∉ (5,62; +∞) или, точнее х∈ ((9 + √5)/2; +∞)

ответ: х∉ [3; (9 - √5)/2) и ((9 + √5)/2; +∞)