Через вершину с равностороннего треугольника авс проведена прямая, пересекающая сторону ав. расстояния от вершин а и в до этой прямой равны соответственно 1 см и 7 см. найдите длину стороны треугольника авс.

если бы все было так просто, как у предыдущего

проще всего сделать так - пусть вершина с лежит в точке (0,0) системы координат на плоскости, прямая, про которую говорится в , - это ось х. тогда вершины треугольника расположены в точках а (m,1) и b(n,-7); m и n - неизвестны (но они положительны - так мы выбрали оси). длину стороны обозначим а.

m^2 = a^2 - 1^2;

n^2 = a^2 - 7^2; очевидно, что m > n;

(m - n)^2 = a^2 - (7 + 1)^2;

надо найти а, поэтому из этой системы уравнений надо исключить m и n - получим уравнение только для а.

m - n =  √(a^2 - 64);

m^2 - n^2 = 7^2 - 1^2 = 48;

m + n = 48/(√(a^2 - 64));

2*m =  √(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64);

m^2 = a^2 - 1 = (1/4)*(√(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64))^2;

4*a^2 - 4 = a^2 - 64 + 2*48 + 48^2/(a^2 - 64);

(3*a^2 - 36)*(a^2 - 64) = 48^2;

3*a^4 - 36*a^2 - 3*64*a^2 + 36*64 = 48^2; удивительно, но свободные члены сокращаются (вообще-то это говорит в пользу существования технически более простого решения).

a^2 = 76;

a =  √76;

 

если записать это так a^2 = (4/3)*(7^2 + 1^2 +1*7) =  (4/3)*(7^2 + 8^2 - 8*7) = 76; то общая конструкция решения несколько проясняется.

 

я добавил чертеж (в левом верхнем углу вложения), и - дополнительно приложил альтернативное решение, хотя это нравится мне больше.

решение находится в

Прямая пересекает координатные оси когда либо х, либо у равны 0. подставляем 0 в уравнение сначала вместо х, потом вместо у. 2*0-3у-12=0 -3у=12 у=12: (-3)=-4 получили одну точку а(0; -4). находим вторую 2х-3*0-12=0 2х-12=0 2х=12 х=12: 2=6. вторая точка в(6; 0)