Решить: исследовать ряды на сходимость. для степенного ряда найти область сходимости: ∞ 1)∑ = 1/ n*5^n n-1 2)∞ ∑ =)^n)*n / 2^n* (n+1) n-1 ∞ 3)∑ = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n n-3

необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1)

как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. ряд у нас положительный, применим признак даламбера ()

т.е. ряд сходится абсолютно

2) ряд является знакочередующимся, применим признак лейбница (если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

- ряд сходится. исследуем также на абсолютную и условную сходимости (сходящийся  ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе  — сходящимся условно.)

воспользуемся признаком сравнения

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

3)

воспользуемся признаком даламбера

наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|< 1 ⇔ |x-5|< 5 ⇔ -5< x-5< 5 ⇔ 0< x< 10

остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

ряд расходится

б) x=10

ряд расходится

т.е. область сходимости ряда (0, 10)