Вромб вписана окружность. может ли радиус этой окружности быть вычислен по формуле r=s/p, или эта формула только для треугольника? если нет, то как его можно вычислить?

пусть в многоугольник с числом сторон n вписана окружность. конечно, это не любой многоугольник. но единственное его особое свойство - существует точка, равноудаленная от всех его сторон.

центр вписанной окружности соединяем с вершинами многоугольника. теперь многоугольник разрезан на несколько (по числу сторон, для 80-угольника - на 80) треугольников с общей вершиной в центре окружности. в каждом из треугольников высота, проведенная из этой общей вершины - это радиус вписанной окружности r, проведенный в точку касания окружности и стороны. поэтому площадь треугольника, содержащего сторону многоугольника номер n (обозначим её a(n), n принимает значения от 1 до n, это просто номер стороны : равна a(n)*r/2; складываем площади всех таких треугольников, очевидно получаем для площади многоугольника

s = (a(1) + a(2) + + a(n))*r/2 = p*r/2; где р =  a(1) + a(2) + + a(n); - периметр n-угольника.

поэтому, единственное ограничение на применение формулы  s = (a(1) + a(2) + + a(n))*r/2 = p*r/2; состоит в том, что в n-угольник можно вписать окружность.