Іть знайти значення виразу arc tg√3-arc tg(-1)

1) если функция возрастает на всей прямой, то её производная всегда положительна.

y' = 3x^2 + 3a = 3(x^2 + a)

при любом а> 0 производная корней не имеет, то есть y' > 0.

при а = 0 будет y = x^3 - тоже возрастает на всей прямой.

при a < 0 будет

y' = 3(x^2 + a) = 3(x - √(- + √(-a))

производная имеет 2 корня, значит, есть минимум и максимум.

ответ: a > = 0

2) y = (x+4)/x = 1 + 4/x.

график на 1 рисунке.

3) f(x) = x^2/e^x

значения на концах отрезка.

f(-1) = (-1)^2/e^(-1) = 1*e = e ~ 2,718

f(3) = 3^2/e^3 =9/e^3 ~ 0,45

экстремумы.

f'(x) = (2x*e^x-x^2*e^x)/e^(2x) = (2x - x^2)/e^x = 0

2x - x^2 = x(2 - x) = 0

x1 = 0; f(0) = 0/e^0 = 0 - минимум

x2 = 2; f(2) = 4/e^2 ~ 0,54 - максимум

наименьшее: f(0) = 0

наибольшее: f(-1) = e

4) это трудная , на производную.

я второй рисунок, из которого все понятно.

обозначим радиус сферы r, радиус основания конуса r, высоту h.

центр основания конуса обозначим о, центр сферы о'.

точку касания образующей конуса и сферы d. вершину конуса s.

угол наклона образующей к плоскости основания:

tg a = h/r; r = h/tg a

треугольник so'd подобен sao.

угол so'd = sao = a.

cos a = r/so' = r/(h-r)

объём конуса

v = 1/3*π*r^2*h = π/3*(h/tg a)^2*h = π/3*h^3/tg^2 a

теперь выразим tg^2 a через r и h.

cos^2 a = r^2/(h-r)^2

sin^2 a = 1 - r^2/(h-r)^2 = [(h-r)^2 - r^2]/(h-r)^2 = (h^2-2rh)/(h-r)^2

tg^2 a = (h^2-2rh)/r^2

подставляем в объём как функцию от h

v(h) = π/3*h^3*r^2/(h^2-2rh) = π/3*r^2*h^2/(h-2r)

берём производную от объёма по высоте h.

v'(h) = π/3*r^2*(2h(h-2r)-h^2*1)/(h-2r)^2

если объём минимальный, то производная равна 0.

π/3*r^2*(2h(h-2r)-h^2) = 0

2h^2 - 4hr - h^2 = 0

h^2 - 4hr = h*(h - 4r) = 0

h = 4r.

чтобы объём конуса был минимальным, его высота должна быть в 4 раза больше радиуса сферы.

найду ещё и радиус конуса.

tg^2 a = (h^2-2rh)/r^2 = (16r^2-8r^2)/r^2 = 8;

tg a = √8

r = h/tg a = 4r/√8 = 4√8*r/8 = √8*r/2 = 2√2*r/2 = r*√2

радиус конуса должен быть равен r*√2