Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

пусть  - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

пусть - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки). 

тогда радианная мера дуги , ограничивающей искомый сектор равна:

        )

  нам необходимо найти при каком объем воронки (правильного конуса)

будет наибольшим. запишем формулу объема конуса:

      )

где - радиус основания конуса; - высота конуса 

поскольку длина окружности основания конуса равна , то отсюда

              )

высоту конуса найдем с теоремы пифагора:

          )

подставим в (4) вместо выражение (3):

          )

подставим в (2) вместо и соотвественно выражения (3) и (5), получим:

      )

    где  

  очевидно, что естественной областью определения объема как функции от  есть интервал:

        )

  продифференцируем (6) по :

  , отсюда

    )

чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы )

тогда из (8) и (9) получим:

        , отсюда с учетом, что , найдем критическую точку:

        , или

  поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка    и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка - точка максимума функции (6). другими словами, при объем воронки будет наибольшим.

теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо  критическую точку :

Высота равна 5 м

Пошаговое объяснение:

1) 4*8=32 м

2) 160:32=5 м