Периметр треугольника abc равен 18. на сторонах ac и bc взяты точки m и n так что прямая nm парал-на ab и кас впис окр. найти ab если mn =2

пусть s - площадь авс, а искомая сторона ав = х.

радиус вписанной окружности, как известно равен:

r = s/p, где р - полупериметр, то есть в нашей : r = s/9

итак mn || ab. значит тр-ки cmn и abc - подобны и коэффициент подобия равен: mn/ab = 2/x

отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

s(cmn)/s = 4/x²

отсюда площадь тр-ка cmn:

s(cmn) = (4s)/x²

другая часть, на которую прямая mn разбила исходный тр-к авс, - это трапеция amnb с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2s)/9. ее площадь:

s(amnb) = ½*(x+2)*(2s)/9 = (x+2)s/9

теперь можем расписать площадь всего тр-ка авс:

s = s(amnb) + s(cmn)

или:

s = (x+2)s/9  +  (4s)/x²

сократив на s и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х:

х³ - 7х² + 36 = 0

данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители:

(х³ - 6х²) - (х² - 36) = 0

х²(х - 6) - (х - 6)(х + 6) = 0

(х - 6)(х² - х - 6) = 0

(х - 6)(х - 3)(х + 2) = 0

корень  -2  отбрасываем

ответ: ав = 6  или  3 - оба корня подходят