Abc-треугольник, ab=3 bc=5 ca=7, точка о центр вписанной в треугольник окружности. разложите вектор co по векторам b=ab и a=ac.

пусть биссектриса ао пересекает стороны вс в точке м. прежде, чем раскладывать, вычислим вм и см. ясно, что вм/см = 3/7; вм + см = 5;

отсюда вм = 7/2; см = 3/2; (и, что важнее всего! -) см = св*7/10

применяя свойство биссектрисы к треугольнику сма (биссектриса со), получаем

мо/ао = см/ас = 1/2;

(на самом деле, это можно было бы сразу записать, если известно свойство точки пересечения биссектрис. фактически я это свойство вывел)

ао = ам*2/3;

вот теперь можно заняться векторами.   жирным шрифтом обозначены векторы, а обычными буквами (если где-то встретятся)- их модули

св = ав  - ас  = b  - a;

cm = (7/10)*(b  - a);

ам = ас + см = a +  (7/10)*(b  - a) = a*3/10 +  b*7/10;

ao = am*2/3 = (a*3/10 +  b*7/10)*2/3 = a/5 +  b*7/15;

и, наконец,

со = аo  - аc  = a/5 +  b*7/15 -  a   = (-4/5)*a + (7/15)*b;

на самом деле, со - это вычурный выбор, интересно именно ао. точно тем же способом можно получить красивое выражение для ао в общем виде

ао = (a*b + b*a)/(a + b + c)