Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.

в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой. поэтому, если провести окружность через концы одной из боковых сторон и середину основания, то в этой окружности прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой-медианой и половиной основания, является вписанным, и, следовательно, боковая сторона, лежащая напротив вписанного прямого угла, будет диаметром. 

таким образом, оркужность, построенная на боковой стороне, как на диаметре, и окружность, проходящая через концы боковой стороны и середину основания - это одно и то же : ))

собственно, всё доказано.

рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник abс с основанием bc, на боковой стороне которого как на диаметре построена окружность o(o; a).  допустим, что основание этого треугольника пересекает окружность в точке h. докажем, что сh = bh. соеденим вершину a с точкой h отрезком ah. этот отрезок будет являться высотой, проведённой к основанию данного треугольника ( < ahb - вписанный угол по определению, притом он опирается на дугу, концы которой соединяет диаметр, т.е. на полуокружность, а значит, его градусная мера равна 90 гр., откуда отрезок ah - высота по определению). но высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника также является и медианой, т.е. сh = bh, что и требовалось доказать.