Биссектрисы углов а и в при боковой стороне ав трапецииавсд пересекаются в точке f. биссектрисы углов с и д при боковой сторонесд пересекаются в точке g. найдите fg, если средняя линия трапеции равна 21, боковые
стороны- 13 и 15.

fg - отрезок средней линии, так как точки пересечения биссектрис f и g - центры окружностей которые касаются одной боковой стороны и двух оснований, то есть они равноудалены от оснований. через f и g проводим высоты (=диаметры, соединяющие точки касания окружностей с противоположными основаниями). точки касания обозначим м (ближняя к а), к (мк перпендикулярно ad), l, n. ясно, что mkln - прямоугольник, и kl = nm = fg = x. обозначим так же точки касания окружностей с боковыми сторонми p (на ав) и q (на cd). для простоты записи обозначим ам = ар = y; bp = bn = z; cl = cq = u; dl = dn = v; получаем

y + z = 13;

u + v = 15;

(y + u + x) + (z + v + x) = 2*21;

2*x = 2*21 - (13 + 15) = 14;

x = 7;

вот теперь - как эту можно решить моментально : ))

зададим вопрос - "на сколько надо сдвинуть центры обеих окружностей, чтобы они совпали? ". после этой варварской операции получается описанная трапеция с боковыми сторонами 13 и 15 и основаниями a и b, причем,

a + b = 13 + 15; и

(a + b)/2 = 21 - x;  

откуда x = 7;

биссектрисы углов а и в пересекаются в точке f, которая находится на средней линии трапеции. треугольник, отсекаемый биссектисой угла а является равнобедренным с основанием 15, его средняя линия со средней линией трапеции равна 15/2 = 7,5. 

аналогично тр-к отсекаемый биссектрисой угла d имеет среднюю линию 13/2 = 6,5

отрезок fg определится как разность между средней линией трапеции и средними линиями тр-ков   fg = 21 - 7,5 - 6,5 = 7

В) прямокутнику всі кути по 90 градусів..