По данным двум сторонам а и b найти третью, если медианы проведённые к данным сторонам пересекаются под прямым углом

запишем формулу для медианы.

ma=sqrt(2b^2+2c^2-a^2)/2

mb=sqrt(2a^2+2c^2-b^2)/2

по свойсту медиан и по теореме пифагора.

(2b^2+2c^2-a^2)/9+(2a^2+2c^2-b^2)/9=c^2

2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2=9c^2

b^2+a^2=5c^2

c^2=(a^2+b^2)/5

c=sqrt(a^2+b^2)/5)

дано: треугольник авс, вс=а, ас=в, ав=с, аа1 и вв1-медианы, аа1 пересекается с вв1 под углом 90 град

найти: с

1)в треугольнике авс точка о-точка пересечения медиан аа1 и вв1.

известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2: 1, считая от вершины, поэтому введём обозначения ао=2х, оа1=х, во=2у, ов1=у

2)по условию, медианы пересекаются под прямым углом, т.е. треугольник аов-прямоугольный с прямым углом аов,

значит с=ав=sqrt{(2x)^2+(2y)^2}=2sqrt{x^2+y^2}

3)рассмотрим треугольник воа1. в нём угол воа1=90 град, во=2у, ва1=а/2, т.к. аа1-медиана треугольника авс.

находим х^2=(oa1)^2=(a/2)^2-(2y)^2=a^2/4 +4y^2

4)аналогично, из прямоугольного треугольника аов1 находим у^2=(ob1)^2=

=(b/2)^2-(2x)^2=b^2/4 - 4x^2

5)x^2+y^2=a^2/4 - 4y^2 +b^2/4 - 4x^2

    x^2+y^2=(a^2+b^2)/4 -4(x^2+y^2)

5(x^2+y^2)=(a^2+b^2)/4

x^2+y^2=(a^2+b^2)/20

6)итак, находим с:

c=2sqrt{x^2+y^2}=2sqrt{(a^2+b^2)/20}=sqrt{(a^2+b^2)/5}

нужно вписать 8, по формуле разности квадратов a^2-b^2=(a-b)(a+b)

а у нас 9а, а b=8