Впрямоугольном треугольнике abc, угол c=90*, высота ch разбивает гипотенузу на отрезки длиной 2 и 8. чему равна высота ch?

рассмотрим ∆ авd и ∆ све

оба прямоугольные и имеют общий острые угол авс. 

если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

из подобия следует отношение 

ве  :   вd = вс  :   ав ⇒ вd • вс = ве • ав  ⇒

ве  :   вс = вd  :   ав

две стороны ∆ веd пропорциональны двум сторонам треугольника авс, и угол между ними общий. 

2-й признак подобия треугольников:

если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 

следовательно, ∆авс и ∆ веd подобны, что и требовалось доказать. 

можно добавить. что коэффициент подобия  равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ све и ∆ авд к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла в треугольника авс.