Две стороны параллелограмма равны 13 см и 14 см, а одна из диагоналей равна 15 см. найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.

об этом треугольнике - со сторонами 13,14,15 я уже много раз тут писал. 

если провести высоту в этом треугольнике к стороне 14, то   она разрежет исходный треугольник на два пифагоровых треугольника - со сторонами 5,12,13 и 9,12,15. два катета 5 и 9 в сумме составляют сторону 14, а 12 - общий катет, и есть высота. 

синус угла между сторонами 13 и 14 равен 12/13.

теперь перейдем к параллелограмму.

у него 2 угла - острый и тупой, в сумме 180 градусов. поэтому синусы их равны (это важнейший момент в решении) 12/13.

биссектриса острого угла пересечет сторону 14, разбив её на отрезки 13 и 1, то есть отсечет от параллелограмма равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 и тупым углом при вершине, синус которого равен 12/13.

биссектриса тупого угла, что легко обнаружить, тоже отсесекает равнобедренный треугольник с боковой стороной 13, и острым углом между боковыми сторонами, синус которого тоже равен 12/13.

то, что отсекаемые треугольники равнобедренные, следует из равенства углов при основаниях, поскольку один из углов является внутренним накрест лежащим углом к половине угла, из которого выходит биссектриса, а второй угол при основании - как раз и есть вторая его половина : ).  

получается, что в обоих случаях площадь отсекаемого треугольника равна

s = (1/2)*13^2*(12/13) = 78.

пусть дан параллелограмм авсd, у которого ак - биссектриса угла а.найдем площадь треугольника авс по формуле герона s=84 см^2. но с другой стороны s тр=1/2*a*b*sinb, то sinb=2*s/a*b=12/13. значит площадь треугольника abk=1/2*ab*bk=78 см^2

1) пусть дана трапеция abcd, где bc - меньшее основание. проведем 2 высоты bb₁ и cc₁ к другому основанию. тогда получим 2 прямоуг. треуг. (ab₁b и dc₁c) и прямоугольник bb₁c₁c. площадь прямоуг. равна 15*8=120, значит сумма площадей треуг. равна 48, т.к. треуг. равны, то площадь треуг ab₁b=24=ab₁*bb₁/2, значит ab₁=6=c₁d. зн. ab=cd=10. тогда периметр = 10+10+15+15+6+6=62. ответ: 62 2) пусть угол kma = x, а угол mka = y, тогда x+y=180-105=75. угол pkm = 2x, а pmk = 2y, т.е. их сумма равна 2(x+y) = 150, тогда угол kmp = 30. ответ: 30° 3) ab=cd, углы abc=cda и bcd=dab, т.к. abcd - параллелограмм. углы bam=dam=dck=bck, т.к. ck и am - биссектрисы. в итоге: углы abm=cdk, kcd=bam, ab=cd, значит треугольники равны по усу(2 угла и сторона между ними.)