Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на окружности, вписанной в этот треугольник.найти углы треугольника

показалась мне интересной, и я её немного обобщил. пусть вписанная окружность делит медиану, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе, в отношении к: (1 - к). в условии к = 2/3.

обозначим a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности. 

проще всего составить необходимые уравнения, воспользовавшись уравнением окружности. далее я покажу, как эти соотношения элементарно получаются и без координатных методов. 

расположим катеты вдоль координатных осей так, что вершина прямого угла   - вначале координат (0,0), а вершины гипотенузы - в точках (а,0) и (0,b). тогда точка пересечения к медианы и вписанной окружности (их 2, нас интересует, очевидно, та, что ближе к гипотенузе) лежит на прямой y = (b/a)*x; основание медианы - это середина гипотенузы, то есть точка с координатами (a/2,b/2), а координаты точки к (k*a/2; k*b/2) (в условии это (a/3,b/3))

уравнение вписанной окружности

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2;

кроме того, есть известное соотношение в прямоугольном треугольнике

a + b - c = 2*r;

подставим (x,y) =  (k*a/2; k*b/2) в уравнение окружности.

(k*a/2 - r)^2 + (k*b/2 - r)^2 = r^2;

(на самом деле это соотношение для точки к можно выписать сразу, исходя из теоремы пифагора, а все предыдущие "методические" приемы просто опустить : ) достаточно построить прямоугольный треугольник, проведя радиус из центра вписанной окружности о в точку к, и прямые ii катетам исходного тр-ка из концов этого радиуса (то есть из точек о и к) до пересечения. полученные катеты этого треугольника очевидно равны (k*a/2 - r) и (k*b/2 - r), - в условии (a/3 - r) и (b/3 - r),  а гипотенуза - r)

имеем далее

k^2*(a^2 + b^2)/4 - k*(a + b)*r +r^2 = 0;

подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

k^2*c^2/4 - k*r*(2*r + c) +r^2 = 0;  

r^2*(1-2*k) - k*c*r + (k^2/4)*c^2 = 0;  

теперь введем x = r/c.

x^2*(1-2*k) - k*x + (k^2/4) = 0; x^2 + x*k/(2*k - 1) - k^2/(4*(2k-1)) = 0;

x = -  k/(2*(2*k - 1)) + корень((k/(2*(2*k - +  k^2/(4*(2k- = 

= -  k/(2*(2*k - 1)) + k/(2*(2*k - 1))*корень(1 + (2k-1));

но только если k > 1/2. вот именно для этого я и обозначил k = 2/3.  если k < 1/2, решения нет. ну, в это выполнено - k = 2/3 > 1/2. замечу также, что второй корень отрицательный, поэтому отброшен.)

x =  k/(2*(2*k - (2*k) - 1);

в частности при k = 2/3, как в , x = 2*корень(3)/3 -1;

таким образом, мы нашли r/c = x =  2*корень(3)/3 -1; дальше ищем углы в этом случае. 

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; это уравнение для а решается легко - достаточно возвести в квадрат обе стороны: ))

1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3; a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);

это можно считать ответом. приближенно  sin(2*a) =  0,714531179816328. интересно, что 2*а получилось почти точно 45 градусов, точнее 2*а =  45,6047908137106 градусов.

вернусь еще раз к . решение в сжатом виде при k = 2/3. всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 и b/3 - и сразу получается соотношение.

(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;  

(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;

подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;

r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; обозначаем r/c = x;

x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3;

a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);