Втреугольнике abc известны стороны ab=7, bc=9, ac=10.окружность проходящая через точки а и с, пересекает прямые ba и bc соответственно в точках k и l, отличных от вершин треугольника. отрезок kl касается окружности, вписанной в
треугольник abc. найдите длину отрезка kl
Ответы на вопрос:
обозначим о центр вписанной в треугольник окружности. проведем из него радиусы в точки касания (вписанной окружностью) м - со стороной ав, р - со стороной вс и - точно такой же радиус в точку касания с kl - пусть это точка n.
теперь - веселый трюк :
поскольку четырехугольник aklc - вписанный, то сумма углов akl и асв равна 180 градусов. равссмотрим теперь четырехугольник mkno. в нем 2 угла прямые : ), поэтому сумма углов mon и akl тоже 180 градусов. поэтому угол mon равен углу асв : ).
но это - еще не всё : )
четырехугольник kmon очевидно симметричен относительно ко. поэтому угол коn равен с/2 (с - угол авс). отсюда kn = r*tg(c/2); r - вписанной окружности : )
совершенно так же показывается, что угол lon равен а/2, где а - угол вас, и nl = r*tg(a/2);
таким образом, kl = r*(tg(c/2) + tg(a/
где а и с, а также r - это углы и радиус вписанной окружности в треугольнике авс, у которого известны все стороны (7,9,10) : остается просто вычислить эти величины : ))
но есть еще один - не слишком важный, но приятный - трюк: )) дело в том, что ас = r*(1/tg(c/2) + 1/tg(a/2)) = kl/(tg(a/2)*tg(c/2); поэтому
kl = ac*tg(a/2)*tg(c/2); так проще считать : ))
ну, меленькая пауза на расчеты (красоты наверняка закончились).
воспользуемся формулой tg(a/2) = корень((1-cosa)/(1+cosa)) и вычислим cosa из теоремы косинусов - напротив угла а лежит сторона вс = 9, имеем
9^2 = 10^2 + 7^2 - 2*10*7*cosa; cosa = (10^2 + 7^2 - 9^2)/(2*7*10);
(1-cosa)/(1+cosa) = (2*7*10 - (10^2 + 7^2 - 9^2))/(2*7*10 + (10^2 + 7^2 - 9^2)) = 9/26;
tg(a/2) = корень(9/26);
аналогично для угла с tg(с/2) = корень((1-cosс)/(1+cosс));
7^2 = 10^2 + 9^2 - 2*9*10*cosc; cosc = (10^2 - 7^2 + 9^2)/(2*9*10);
(1-cosc)/(1+cosc) = (2*9*10 - (10^2 - 7^2 + 9^2))/(2*9*10 + (10^2 - 7^2 + 9^2)) = 6/39;
tg(с/2) = корень(6/39);
kl = 10*корень(9/26)*корень(6/39) = 30/13; надо же, корни все пропали :
а пропали они - потому что надо сначала умом работать, а потом другими частями тела. продолжив игру с углами, можно легко обнаружить, что угол blk = a, а угол bkl = c. в самом деле, мы уже показали, что (из-за того, что асkl - вписанный четырехугольник) угол klc + угол вас = 180 градусов, но угол blk + угол klc = 180 градусов, поэтому угол blk = угол вас. поэтому треугольник вкl подобен авс. (по-моему тут решение получить можно проще.)
для начала вычислим bm = bp = x; ам = ак = y; ck = cp = z -отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.
x + y = 7;
y + z = 10;
x + z = 9;
y - x = 1; 2*y = 8; y = 4; x = 3; z = 6; нам понадобится x.
опять веселые трюки : ))
периметр треугольника bkl равен 2*x = 6;
(а вот сами докажите : ) ну, ладно, подскажу - km = kn и nl = lp, поэтому bk + kl + bl = bk + kn + nl + bl = mb + bp = 2*x)
из того, что bkl подобен авс, следует, что bl = kl*7/10; bk = kl*9/10, периметр равен kl*26/10; поэтому
kl*26/10 = 6; kl = 30/13; :
кb = lb (отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны)тогда, если ак обозначить черех х, то 7-х= или, может быть, нужно составить систему. если ак обозначить через у, а кв через х, то х+у=7 и т.
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Геометрия
-
бека15031.12.2021 02:51
-
luba2014444444444425.04.2022 17:09
-
СавелийМясоедов77723.07.2022 08:09
-
Dzean77706.05.2021 03:33
-
вера54622.11.2022 15:09
-
madam795205.04.2020 17:16
-
kurilov21819.10.2020 12:03
-
аза0003.01.2020 04:29
-
Bossak09.12.2020 01:34
-
girlssss12.11.2020 16:20
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.