Геометрия: Расстояние между поверхностями x^{2}/96+y^2+z^2=1 и 3x+4y+12z=288

natalyater1

09.09.2020 12:42

Геометрия

Есть ответ 👍

Расстояние между поверхностями x^{2}/96+y^2+z^2=1 и 3x+4y+12z=288

119

318

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

iwaly2009

Геометрия

4,4(24 оценок)

ладно, хоть я и на коленках делал, а все равно - попробую оформить.

x^2/96 + y^2 + z^2 = 1; (1/96)*x*dx + y*dy + z*dz = 0;

ищем такую точку (x0,y0,z0), принадлежащую эллипсоиду, что плоскость, определяемая уравнением

(1/96)*x0*(x - x0) + y0*(y - y0) + z0*(z - z0) = 0; (просто заменили dx = x - x0, получили касательную плоскость в точке (x0,y0,z0), это все в точности, как в одномерном случае связь производной и касательной к графику)

самая близкая точка эллипсоида к плоскости 3x+4y+12z=288; будет там, где касательная плоскость параллельна ей. отсюда получаем

(x0/96, y0, z0) = (3*a, 4*a, 12*a); то есть (x0,y0,z0) = (288*a,4*a,12*a);

а находится из уравнения эллипсоида.

a^2 = 1/(288^2/96 + 4^2 + 12^2) = 1/1024; a = 1/32; (минус тоже подходит, но интуитивно понятно, то решение с "плюсом" ближе к плоскости)

мы получили точку эллипсоида, самую близкую к плоскости.

это точка r0 = (9,1/8,3/8) (жирным выделены вектора, под r понимается радиус-вектор точки, то есть вектор из начала координат в точку (x,y,z))

уравнение плоскости можно переписать в виде nr = 288/iаi,

где a = (3,4,12); iai = корень(3^2 + 4^2 + 12^2) = 13; n = a/iai - единичный вектор.

n = (3/13, 4/13, 12/13); nr = 288/13 - уравнение заданной плоскости.

вычислим nr0 = (3*9+4*1/8+12*3/8)/13 = 32/13. это и есть уравнение касательной плоскости в точке r0.

поскольку скалярные произведения не зависят от выбора направления осей и расстояния - тоже, повернем оси так, чтобы n стал единичным вектором оси z.

тогда уравнения этих двух плоскостей превратятся в z = 288/13 и z = 32/13. ясно, что расстояние между ними равно 288/13 - 32/13 = 256/13.

Pemo

Геометрия

4,5(95 оценок)

решение:

следуя свойству диагоналей параллелограмма, точка пересечения делит их пополам, поэтому ао = 12 ÷ 2 = 6 (см); во = 8 ÷ 2 = 4 (см). следуя теореме про противоположенные стороны, cd = ab = 7 (см). р треугольника = 6 + 4 + 7 = 17 (см).

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.