При движении тела по прямой расстояние s(t) (в метрах) до тела от фиксированной точки р изменяется по закону s(t)=8t^2+7t+sint+1 (t - время движения тела в секундах). какой была скорость в момент начала движения? можно с
подробным решением, , чтобы лучше было понимать: )

скорость это первая производная уравнения движения(пути) по времени, дифференцируя, получим

v(t)= s' = 8*2*t + 7 + cos(t)= 16*t + cos(t) + 7.

началом движения обычно считают t=0, однако в некоторых  это не так и нужно внимательно читать условие, чтобы понять, что такое начало в конкректном контексте. в данной ничего об этом не сказано, поэтому, очевидно, предполагается, что начало движения, это t=0.

подставляя в полученную формулу, получим

v(0) = 16*0 + cos(0) +7 = 0 + 1 + 7 = 8 м/c.

вроде всё, но учитесь видеть за уравнением реальное движение, это же интересно, не  тупо брать производные и подставлять туда значения это и медведя в цирке можно научить, ничего сложного, а вот представлять процессы, описываемые этими уравнениями, гораздо сложней и интересней. в нашем слечае процесс представляет собой сумму трёх движений - равноускоренного(8t^2 +7t),    и колебательного. поэтому приблизительно это шарик с пружинками с двух сторон, который колеблется и, например, падает на землю. пружинки перпендикулярны земле. вот, оказывется, движение какого сложного объекта описывает это простое уравнение, а вы умеете определить всё о движении этого шарика.         

немного подумал и решил продолжить размышление о термине "начало движения". в принципе, ничто не запрещает нам толковать о начале движения, как о моменте времени. когда движения еще не было, то есть в момент, когда s=0. и это толкование часто встречается как в , так и в , вспомним всяких велосипедистов, выезжающих то на час позже, то на 2 часа раньше, то есть у них начало не совпадает с t=0. применив это толкование, попробуем  теперь решить нашу . для определения времени начала движения необходимо решить уравнение

8*t^2 + 7*t + sint + 1 =0

и вот здесь нас ждет засада - уравнение трансцендентное и решить его можно или численными или( приближённо) графически. дело осложняется  осциллирующим слагаемым (колеблющимся)  sint, что чревато не одним, а многими решениями(вы решали тригонометрические уравнения, представляете что это такое), а так как в условии ничего не конкретизировано, необходимо найти все решения, потому что каждое из них можно трактовать, как начало

вот так неряшливость или безумие авторов может завести вдумчивого ученика в тупик. не расстраивайтесь, это часто бывает, но думать не переставайте. однако, для чистоты решения, чтобы к вам не было никаких претензий, или идите до конца, рассматривая все варианты, то есть решая  поставленную со всеми вариантами, либо, как сделал я, напишите(для этой ) "предположим, что движение начинается в момент времени t=0" и всё! претензий не будет!