Ассматривается линейная функция у = ах+ь. при каких значениях а и b ее график: а) проходит через начало координат; б) проходит через начало координат и точку м(— 1; 3); в) параллелен графику функции у = зх + 5; г)
отсекает на осях координат равные отрезки; д) является биссектрисой координатного угла третьей четверти; е) проходит через точки м(3; 8) и n (4; 8); ж) проходит через точки к(3; 5) и n ( — 3; 7); з) проходит только через те
точки, координаты которых имеют один знак; и) не проходит через точки, обе координаты которых положительны?

а)ясно, что если график некоторой линейной функции проходит через начало координат, то это прямая пропорциональность, задаваемая формулой y = ax. значит, b = 0, а a ≠0. если a = 0, то получим функцию y = 0, с осью ox.

б)мы видим, что раз прямая должна проходить через начало отсчёта, то это прямая пропорциональность, формула которой y = ax. b = 0 явно. а коэффициент a найду из равенста, подставив координаты точки m в формулу:

3 = -a

a = -3

в)если график данной функции параллелен графику функции y = 3x+5, то это означает, что угловой коэффициент a у них должны быть равными, а b должны быть различными. значит, a = 3, b ≠5

  пункт и

рассмотрим сначала случай, когда у данной функции b=0, то есть это - прямая пропорциональность. мы знаем, что обе координаты положительны только для точек, расположенных в 1 четверти. следовательно, данная прямая не может проходить через неё. отсюда следует, что она не может проходить через 3 четверть. начит, прямая проходит через 2 и 4 четверть, то есть, образует с прямой ox тупой угол(с положительным направлением). значит, a< 0, b=0. при этом, a может быть равно 0, так как в таком случае мы рассматриваем функцию y = x, которая может проходить через точки вида (x; 0), а 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

теперь рассмотрю случай, когда b ≠ 0. понятно, что прямая не будет проходить через первую четверть лишь в том случае, если график образует с положительным направлением оси ox тупой угол, то есть, если a< 0. при такой ориентации прямой ясно, что прямая пересечёт oy лишь в отрицательной ординате. значит, b < 0

значит, прямая не проходит через положительные координаты при a≤o, b≤0

пункт е.раз прямая проходит через эти точки. то их координаты должны одновременно удовлетворять формуле y = ax + b

теперь подставлю эти координаты в эту формулу и составлю систему уравнений:

                                      3a + b = 8

                                      4a + b = 8

решу её методом сложения:

                                          -3a-b = -8                        a = 0

                                            4a + b = 8                      b = 8

то есть, это прямая y = 8

пункт ж

подставим опять координаты в формулу, и составим систему уравнений:

                                                3a + b = 5                  2b = 12                                        b = 6

                                                -3a + b = 7                3a+b = 5                                    a = -1/3

значит, это прямая y = -1/3x + 6

пункт д

эту можно решить различными способами. я предлагаю следующий. поскольку данная прямая является биссектрисой координатного угла, то она проходит исключительно через начало координат, то есть это прямая пропорциональность. y = ax. значит, b=0

теперь мы знаем. что координатный угол равен 90°, так как оси перпендикулярны друг другу.  биссектриса составляет с положительным направлением оси ox угол 45°(по свойству биссектрисы). так как прямая пропорциональность проходит через 3 четверть, то она проходит и через 1 четверть. мы узнали, что угол между прямой и положительным направлением  оси ox равен 45 градусам. a - угловой коэффикиент, он равен тангенсу данного угла, значит a = tg 45° = 1.

поэтому, речь здесь идёт прямой y=x