Медиана прямоугольного треугольник, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. докажите, что площади этих треугольников равны.

площадь треугольника определяется по формуле

s=1/2 h*a, где    h-       высота треугольника, a - его основание. 

медиана делит основание на две равных части. 

высота у получившихся треугольников - общая. 

основания - равны. 

площадь треугольников тоже равна. 

это утверждение относится к любому треугольнику, основание которого поделено пополам. 

1)   медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. ⇒ nc: св=6: 3, и mc: са=8: 4. одна из формул площади треугольника s=a•b•sinα•1/2, где а и b - стороны,   α- угол между ними. sin45°=√2/2,   тогда ѕ(acn)=6•4•√2/2=6√2. медиана делит площадь треугольника пополам, три медианы делят его на 6 равновеликих треугольника. s(mnk)=6•ѕ(acn)=36√2 (ед. площади)

2) в ∆ аес   по теореме синусов   ае: sin∠с=ас: sin∠аеc.   сумма углов треугольника 180°. в ∆ авс ∠с =180°-(α+ β).   ∠аес=180°-γ.   ⇒ m: sin(180°-α- β)= =ac: sin(180°-γ), откуда ас=m•sin(180*-γ)/sin(180*-α-β).

3) диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ в треугольнике мnp отрезок мо - медиана. формула медианы произвольного треугольника   м=(√(2a²+2b²-c²): 2, где а и b - стороны, с - сторона, которую медиана делит. ⇒ мс=2мо=√(32+72-28)=2√19 ед. длины.

или

  из ∆ мnp по т.косинусов   np²=mn²+mp²-2•mn•np•cosnmp ⇒ mp²=16+36-48•cosnmp ⇒ cosnmp=(28-52): (-48)=1/2

  по т.косинусов мк²= mn²+nk²•mn•nk•cos∠mnk). сумма   соседних углов параллелограмма 180° (т.к. мр||nk, mn - секущая, угол nmp и угол mnk- внутренние односторонние). ⇒cosmnk= - cosnmp   ⇒ мк=√(52+24)=2√19 (ед. длины)