Вравнобедренном треугольнике abc боковые стороны ab и bc равны 5 см, угол abc равен 36 градусов. биссектриса cd треугольника равна 3 см. найдите отношение площади треугольника dbc к площади треугольника abc.

этот замечательный треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса cd делит его на два равнобедренных треугольника.

в самом деле, угол вса = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол вас, => угол bcd = 72/2 = 36 градусов, и => сd = bd = 3. на самом деле уже решена   - отношение равно 3/5 - это отношение bd/ab. в самом деле, если обозначить расстояние от точки с до ав, как h, то sabc = ab*h/2, sdbc = bd*h/2, sdbc/sabc = bd/ab = 3/5.

но для полноты картины заметим, что угол cda = угол сав + угол bcd = 72 градуса = угол сав, поэтому cd = ac = 3, то есть нам известны все стороны треугольника авс : ) - это 5, 5 и 3. 

в результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что невозможно. поэтому такого треугольника, как указано в , не существует. размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :

поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания ac, биссектрисы cd и отрезка bd, которые равны между собой. обозначим cd = x. по свойству биссектрисы имеем

x/5 = (5-x)/x; x^2 + 5*x - 25 = 0; отсюда х = 5*(корень(5) - 1)/2.

именно такова длина биссектрисы cd в правильном условии. и отношение   sdbc/sabc = bd/ab в реальности равно  (корень(5) - 1)/2;

справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2  примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")

попробуем выразить площадь треугольника dbc.

для начала найдем углы при основании равнобедренного треугольника

угол a=углу с= (180-36)/2=72(по теореме о сумме углов треугольника)

найдем угол dbc : т.к cd - биссектриса ,то угол угла с = 36

найдем отношение площади треугольника dbc к площади треугольника abc.

Объяснение:

сумма углов треугольника равна 180 градусам сл. -но. угол

В = 180-а-с

В=180-35-45=100

ответ: угол В равен 100 градусам

6)угол а и d - смежные

По теореме смежные углы рвны сл. -но.

угол а = 40 градусам

сумма углов треугольника равна 180 градусам, значит

В=180-А-С=180-40-105=35

ответ: А=40, В=35

9)угол С - внешний

по теореме внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам сл. -но

С=180-125= 55

этот треугольник равнобедренный, а у равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит С=А=55

В=180-55-55=70

ответ А=55 В=70 С=55