Боковое ребро и апофема правильной треугольной пирамиды соответственно равны 11 см и 7 см. вычислить площадь сечения, проходящего через боковое ребро, и высоту пирамиды

пусть sabc- данная правильная треугольная пирамида. so- высота пирамиды, sм- апофема. посторим сечение, что проходит через боковое ребро и высоту пирамиды. через вершину основания а и основание высоты пирамиды о проведем прямую, т. т - точка пересечения прямой оа и стороны основания вс. sт - впямая по которой искомая плоскость пересекает грань sвс. поскольку треугольник авс правильный, то о- центр вписаной и описаной окружности, sт - является апофемой грани sвс(по теореме о 3-х перпендикулярах, sо - перпендикуляр, sт- наклонная, от- проекция).

s = ½ sо·ат

ат=r+r - сума радиусов вписаной и описаной окружностей.

из треугольника sма найдем по т.пифагора ам - половину стороны основания.

ам²= sа²-sм² = 11²-7²=121-49=72 , ам=√72=√36·2=6√2см

вся сторона основания ав=2·6√2=12√2см

из труегю амт по т. пифагора найдем ат: ат²=ав²-вт²=(12√2)²-(6√2)²=216

  ат=√216 =6√6см

найдем высоту пирамиды:

из треугольника sоа по т. пифагора: sо²=sа² -оа², оа -радиус описаной окружности, оа=ав/√3.

sо²=11² -(12√2/√3)²=121-96=25, sо=5см

s = ½ ·6√6·5=15√6 (см²)