Воснование пирамиды лежит треугольник со стороной, равной а, и противолежащим ей углом 135 градусов. каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. найдите высоту пирамиды! !

тут прежде всего надо понять, что вершина пирамиды равноудалена от вершин основания. поэтому основание высоты пирамиды тоже равноудалено от вершин основания. поэтому вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности (вокруг основания). всё это вы можете легко увидеть, если поастроите высоту пирамиды, соедините её основание с вершинами оснований и рассмотрите получившиеся прямоугольные треугольники. они все имеют общий катет (высоту пирамиды) и одинаковый противолежащий этому катету острый угол. то есть они равны. отсюда и следует все, казанное вначале. 

вот теперь можно приступить к решению.

радиус окружности, описанной вокруг основания, находится из теоремы синусов.

2*r*sin(135) = a; r = a/(2*sin(135));

поскольку r - это проекция бокового ребра, которое  составляет с плоскостью основания угол 60 градусов, то высота пирамиды h связана с r так

h/r = tg(60);

отсюда h =  a*tg(60)/(2*sin(135)) = a*корень(3/2);