Окружность радиуса 1 см, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его средней линии. найти площадь треугольника.

расстояние между параллельными прямыми равно диаметру окружности, которая их обеих касается. поэтому расстояние от основания до средней линии равно 2, а высота треугольника, соответственно, равна h = 4. 

если из центра вписаной окружности опустить перпендикуляр на боковую сторону, то получится прямоугольный треугольник с катетом r = 1 и гипотенузой h - r = 4 - 1 = 3 (ясно, что центр лежит на высоте к основанию на расстоянии r = 1 от основания). таким образом, если обозначить ф угол при основании треугольника, то 

cos(ф) = 1/3. (угол между боковой стороной и высотой к основанию равен 90 - ф)

легко найти sin(ф) = корень(1 - 1/9) = 2*корень(2)/3, 

сtg(ф) = 1/(2*корень(2)) = корень(2)/4;  

половина основания равна b/2 = h*ctg(ф) = корень(2);  

площадь треугольника h*b/2 = 4*корень(2);