Регистрация Спросить otvet5GPT
milenohkaKiss6565
30.05.2022 04:20
Математика
Есть ответ 👍

Решить коши y''-2y'=6*x(1+x)^2; y(0)=0 , y'(0)=1

229
498
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Маринрчка
Маринрчка
4,4(18 оценок)

решение не сложно, но требует знаний особенностей решения неоднородных линейных уравнений.

начнём.

1. сначала ищется общее решение(оно получается с произвольными константами), затем, для решения коши в это решение подставляются начальные условия, в результате, как правило, получается система уравнений, из которой и находятся конкретные значения этих коэффициентов.

2. общее решение неоднородного линейного уравнения, как правило, ищется в виде y=yо+yч, где  yо- общее решение однородного уравнения, yч-частное решение общего уравнения.

3. займёмся однородным уравнением.

оно в нашем случае имеет вид

у"-2*у'=0

действуя по общей схеме, составляем характеристическое уравнение

л^2-2*л=0, откуда

л=2, л=0, а значит,  общее решение нашего  однородного уравнения имеет вид

 

yо=с1*exp(2*х)+с2 

 

4. теперь попробуем найти частное решение нашего уравнения.

поглядим на правую часть

  6*х*(1+х)^2=6*х^3 + 12*x^2 + 6*x это многочлен 3 степени.

частное решение будем искать тоже в виде многочлена, но 4 степени(просто слева в нашем уравнении отсутствует у, поэтому степень нужно повысить), то есть в виде

yч=a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e

подставим это наше исходное уравнение и получим

y'ч = 4*a*x^3 + 3*b*x^2 + 2*c*x + d

y"ч = 12*a*x^2 + 6*b*x + 2*c

 

y"ч-y'ч = (-4*a)*x^3 + (12*a - 3*b)*x^2 + (6-2*c) + (2*c-d) 

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях этого многочлена и нашего в правой части, получим систему

-4*a=6

12*a - 3*b = 12

6 - 2*c = 6

2*c-d = 0

 

её легко решить, получив

а=-3/2; b=-10; c=0; d=0;

таким образом частное решение нашего уравнения имеет вид

 

yч = (-3/2)*x^4 - 10*x^3

 

5 а общее решения нашего исходного уравнения вид

 

y = yо + yч = с1*exp(2*х)+с2 + (-3/2)*x^4 - 10*x^3

 

6 теперь займёмся коши.

у(0)=0; у'(0)=1;

 

так как y' = 2*с1*exp(2*x)  - 6*x^3 - 30*x^2, получим систему

 

y(0) = c1 + c2 = 0

y'(0) = 2*c1        = 1, откуда

 

с1 = 1/2; с2=-1/2.

 

7 мы решили исходную и решение коши исходного уравнения имеет вид.

 

y = (1/2)*exp(2*х) - (1/2) + (-3/2)*x^4 - 10*x^3

 

 

и, наконец, не списывайте решение, а попробуйте сами его получить, следуя инструкциям. я не исключаю, что мог допустить некоторые арифметические неточности.

успехов.

 

 

 

nickitaartemjev
nickitaartemjev
4,6(71 оценок)
В1 метре-10 дециметров. а 16 дм составляют 1,6 м

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS